电力系统中存在大量的静电场问题，如换流阀屏蔽系统表面电场强度控制、变电站工频电场分布和输电线路周围电磁环境等问题。边界元法（Boundary Element Method, BEM）基于边界积分方程，采用解析的基本解，是一种适合于开域问题的高精度数值计算方法。边界元法只需要对边界进行剖分，简化了网格的生成，具有降低求解维度的优势，与有限元法（Finite Element Method, FEM）相比可以减少计算的自由度。

由于边界积分方程的全局性，BEM形成的系数矩阵是满阵，计算系数矩阵的时间较长，存储需要大量空间，因此消耗大量计算资源，限制了求解规模。目前已经形成了不同的快速算法来解决这一问题，例如多层快速多极子方法（Fast Multipole Method, FMM）、分级矩阵压缩方法、小波边界元方法和自适应交叉近似方法等。其中FMM利用球谐函数展开，引入多极展开和局部展开，利用展开系数在分层树结构中的递归运算，完成源点与场点之间相互作用的聚合、转移和分散，从而加速计算矩阵与向量的乘积。

多极子方法与边界元结合形成多极子边界元方法（Fast Multipole Boundary Element Method, FMBEM），避免形成完全的系数矩阵，计算量和存储量与自由度近似呈线性关系，解决了传统边界元法求解规模限制的问题，在三维电磁问题中已经得到广泛应用。本文中利用多极子方法加速边界元，提高计算速度，减少计算中内存的占用量，扩大求解规模。

实际工程问题边界元分析的误差总体上分为三类：模型误差、离散误差和计算误差。其中离散误差是由于计算所需的网格模型不能完全与真实物理模型吻合造成的。传统上减小离散误差的方法是增加单元数量和采用高阶插值单元，但是这两种方法会造成计算自由度的增加，降低了计算效率。

目前处理这一问题的方法主要有三种：等几何法、参数空间法和基于坐标变换的曲面单元法。等几何法基于三维建模中使用的样条函数，如非线性有理B样条、T样条等，利用样条基函数进行插值和积分计算，实现真实模型和网格模型的一体化。参数空间法在CAD软件中进行建模，利用边界表征将表面映射到二维平面参数空间。在参数空间完成网格划分，由于二维参数化空间和三维物理模型空间具有一一映射关系，同样可以实现真实模型与网格模型的一体化。

基于坐标变换的曲面单元法利用不同的坐标变换将常规使用的平面单元转换到二维空间，进行插值和数值积分计算，等价于在实际的曲面单元进行计算。与参数空间法不同，曲面单元法的网格与传统网格划分方法相同，都是在实际三维模型上进行。基于坐标变换的方法与另外两种方法相比具有计算简单的优势。本文利用基于坐标变换的曲面边界元法（Curved Boundary Element Method, CBEM）消除离散误差，提高计算精度。

综上所述，针对电力系统中的静电场问题，基于间接积分方程，使用多极子方法加速曲面边界元形成多极子曲面边界元方法（Fast Multipole Curved Boundary Element Method, FMCBEM），提高计算精度和效率，扩大求解规模。为了适应曲面边界元的特点，对多极子方法中树结构的划分方法进行改进。通过不同的算例研究了该算法在计算精度和计算效率方面的表现。最后，应用该算法分析了±350kV换流阀屏蔽系统表面电场分布，验证该算法对大规模问题的解决能力。

图1 曲面边界元计算过程

结论

本文针对电力系统中的静电场问题，通过多极子方法加速基于坐标变换的曲面边界元法，形成了多极子曲面边界元方法。该方法与曲面边界元方法、多极子平面边界元方法相比有如下优势：与曲面边界元相比，提高了计算速度和效率，扩大了求解规模；与多极子平面边界元方法相比，增加了计算精度，可以在更少单元情况下实现更高的计算精度。

此外对多极子方法中树结构的划分进行改进，划分中考虑了单元尺寸和栅格尺寸之间的关系，减小计算误差，进一步增加了计算精度。在个人计算机上完成了节点数为17.9万的±350kV单桥臂换流阀的屏蔽系统的表面电场强度的分析。

本文方法对于分析大规模静电场问题具有优势。为了进一步加快计算速度，下一步考虑采用多核并行的方式进行计算。